Попробую попроще 
.
Хостинг - переводится как гостеприимство.
К примеру у меня есть сайт. Сайт - это можно сказать, обычная програмка (скрипт). Програмку я могу разместить на своём компе. Много места она не занимает (Сайт "Умник - вопросы и ответы" занимает сейчас всего не более 300 мб). Но если я размещу его дома, то работать он будет нестабильно и это обойдётся очень дорого. Компьютер должен будет работать круглосуточно и также должен быть постоянный интернет-доступ, и т.д.. Только интернет должен иметь очень большую пропускную способность, т.к. разные люди со всего мира подключаются к сайту (програмке) и у всех програмка должна хорошо работать и грузиться. Короче, держать дома сайт - это морока сплошная. Да ещё и очень дорого получиться.
Обычно, для сайтов используют специальные компьютеры, которые больше всего подходят для этой цели - сервера. Приобретать сервер, дополнительное оборудование, аренда интернета и т.д. - это всё сложно и очень дорого для одного сайта. И поэтому проще "с кем-нибудь договориться", чтобы разместить у них. Вот тут и появляется хостинг. Есть специальные компании, которые предоставляют услуги размещения сайтов на своих серверах. Естественно, на качественное обслуживание можно расчитывать, только если это платно. Но иногда, хостинговые компании не берут на прямую денег, а устанавливают свою рекламу или что-то в этом роде. Или предоставляют аренду с ограниченным колличеством услуг, чтобы клиенты убедились, что у них всё качественно и хорошо, а если захотят большего, то это будет уже платно.
В общем, хостинг сайтов - это оказание услуг по размещению програмного обеспечения на серверах провайдера.
Но хостинг бывает разный. Может быть не только хостинг сайтов, но например хостинг серверов (компьютеров, на которых расположены сайты). Есть специальные Дата-Центры, где удобнее располагать свои сервера.
А зачем регистрировать хостинг - это наверно уже совсем другая тема)). Я думаю, что Вы имели ввиду не регистрировать хостинг, а зарегистрироваться на хостинге - заказать услуги хостинга.
Заказывать хостинг иностранный, частенько бывает выгоднее, чем пользоваться российским, т.к. там цены бывают дешевле и качество хорошее.